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Author: Lapeyre Paule <paule.lapeyre@yahoo.fr>
Date: Wed, 27 Jul 2022 16:27:33 -0400
add some sentences in introduction and some equations in section_model
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@@ -51,7 +51,7 @@
\paragraph{} Le but du présent document est d'illustrer la mise en oeuvre
algorithmique d'un calcul de sensibilité sur un exemple simple. Le problème est
-décrit par un parallélépipède dont les paroi sont toutes noires à l'exception
+décrit par un parallélépipède dont les parois sont toutes noires à l'exception
de la paroi supérieure qui est spéculaire (figure~\ref{fig:configuration}). La
déformation géométrique que nous considérons est une translation de cette
paroi. Nous étudions l'impact de cette translation sur le flux reçu par un
@@ -63,13 +63,33 @@ récepteur situé sur la paroi inférieure.
\label{fig:configuration}
\end{figure}
-Le flux $\varphi$ perçu par le récepteur s'exprime:
+Le paramètre $\PI$ est le paramètre géométrique, il est défini sur
+$\mathbb{R}^{+}$, en le modifiant la position de la paroi supérieure est
+translatée vers le haut. Les parois latérales ne dépendent pas de $\PI$,
+lorsque la paroi du haut est translatée le cube "s'ouvre".
+
+L'observable radiative est le flux $\varphi$ perçu par le récepteur qui
+s'exprime:
\begin{equation}
\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
\vec{\omega} \cdot \vec{n} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
\end{equation}
-\section{Modèle de sensibilité géométrique et algorithme de Monte-Carlo}
+On s'intéresse à la sensibilité de ce flux par rapport à la variation de la
+position de la paroi spéculaire:
+\begin{equation}
+\partial_{\PI}\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} \partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
+\end{equation}
+
+Pour évaluer le flux $\varphi$ nous avons besoin de connaître la luminance,
+dans toutes les directions entrantes et en tout point du récepteur, de façon
+similaire pour évaluer $\partial_{\PI} \varphi$ nous avons besoin de connaître
+la sensibilité géométrique $s$, dans toutes les directions entrantes et en tout
+point du récepteur.
+
+\section{Modèle de sensibilité géométrique}
+
La sensibilité géométrique de la luminance est définie telle que:
\begin{equation}
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \partial_{3} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) =
@@ -77,9 +97,12 @@ s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \partial_{3} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) =
\end{equation}
Elle est regardée ici comme une quantité physique à part entière dont la
phénoménologie est décrite par une équation de transfert radiatif dans le
-domaine et des contraintes aux frontières pour la sensibilité entrante dans le
-domaine. Dans \citep{papier_sensib} l'équation de la sensibilité dans le milieu
-est donnée en toute généralité. Pour notre exemple elle peut se résumer à
+domaine et par des contraintes aux frontières (conditions aux limites) pour la
+sensibilité entrante dans le domaine.
+
+\paragraph{Équation de transport}
+Dans \citep{papier_sensib} l'équation de la sensibilité dans le milieu est
+donnée en toute généralité. Pour notre exemple elle peut se résumer à
l'equation \ref{eq:ETR-S}, avec $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
\vec{w} \cdot \vec{\nabla} s = \mathcal{C}[s]
@@ -91,8 +114,25 @@ et
p_{\Omega'}(-\vec{\omega}'|\vec{x},\vec{\omega}) d\vec{\omega'}
\end{equation}
-Conditions aux limites .......
+\paragraph{Les conditions aux limites}
+La seule paroi du cube paramétrée par $\PI$ est la paroi du haut qui est
+spéculaire. Seule cette paroi sera donc source de sensibilité géométrique:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+s_{droite} = s_{gauche} = s_{devant} = s_{derrière} = s_{bas} = 0 \\
+s_{haut} = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in S_{haut} ; \vec{\omega} \cdot \vec{n}_{haut} > 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+Dans \citep{papier_sensib} la condition à la limite de la sensibilité
+géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques de
+paroi noire, paroi spéculaire et paroi diffuse. Nous récupérons ici la
+condition à la limite pour une paroi spéculaire:
+
+To be continued..........
+
+\section{Algorithme de Monte-Carlo direct}
\begin{itemize}
\item Décrire brièvement le modèle + CL;
\item identifier les sources + couplages;
@@ -101,9 +141,9 @@ Conditions aux limites .......
\item Donner le choix algorithmique qui est d'échantillonner les sources;
\end{itemize}
-\section{Le chemin}
+\subsection{Le chemin}
-\section{Le poids}
+\subsection{Le poids}
\paragraph{}
On veut estimer par Monte-Carlo la sensibilité géométrique du flux reçu par le
