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Author: Lapeyre Paule <paule.lapeyre@yahoo.fr>
Date: Thu, 28 Jul 2022 16:13:34 -0400
added sensib model + sensib cl + coupling sources - started config description
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diff --git a/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw b/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw
@@ -59,14 +59,36 @@ récepteur situé sur la paroi inférieure.
\begin{figure}
\includegraphics[width=1\linewidth]{TODO}
- \caption{TODO description de la config en s'appuyant sur la figure à faire}
- \label{fig:configuration}
-\end{figure}
-
+ \caption{\textbf{La configuration géométrique} est un parallélépipède de
+dimension ....... repéré dans la base ...... (voir figure de \textit{gauche}).
Le paramètre $\PI$ est le paramètre géométrique, il est défini sur
$\mathbb{R}^{+}$, en le modifiant la position de la paroi supérieure est
translatée vers le haut. Les parois latérales ne dépendent pas de $\PI$,
-lorsque la paroi du haut est translatée le cube "s'ouvre".
+lorsque la paroi du haut est translatée le cube "s'ouvre" (voir figure de
+\textit{droite}). \textbf{Configuration radiative} Toutes les parois du
+parallélépipède sont noires à l'exception de la paroi du haut qui est
+spéculaire, froide, et munie d'un coefficient de réflexion $\rho$ défini dans
+l'équation \ref{eq:rho}. Seule la paroi noire de droite (de surface .....$A_d$)
+est émettrice et la condition à la limite associée est décrite par l'équation
+\ref{eq:cl_rad}. Le milieu englobant la "boite" est considéré froid et
+transparent.}
+ \label{fig:configuration}
+\end{figure}
+
+\begin{equation}
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) = 0.25 (1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx})(1- \cos(2 \pi
+\frac{y}{Dy})
+\label{eq:rho}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = S_b \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\end{equation}
+avec $S_b$ la source surfacique qui correspond à l'émission thermique de la
+paroi:
+\begin{equation}
+S_b = L^{eq}(T)(1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx})(1- \cos(2 \pi \frac{y}{Dy})
+\end{equation}
L'observable radiative est le flux $\varphi$ perçu par le récepteur qui
s'exprime:
@@ -112,6 +134,7 @@ et
\begin{equation}
\mathacal{C}[s] = -(k_a + k_s) s + k_s \int_{\mathcal{S}}
p_{\Omega'}(-\vec{\omega}'|\vec{x},\vec{\omega}) d\vec{\omega'}
+\label{eq:C_operator}
\end{equation}
\paragraph{Les conditions aux limites}
@@ -126,10 +149,182 @@ s_{haut} = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in S_{haut}
Dans \citep{papier_sensib} la condition à la limite de la sensibilité
géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques de
-paroi noire, paroi spéculaire et paroi diffuse. Nous récupérons ici la
-condition à la limite pour une paroi spéculaire:
+paroi noire, paroi spéculaire et paroi diffuse. Dans notre exemple elle prend
+la forme suivante (voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui
+mènent à cette expression):
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = & - \beta
+\left(\partial_{1,\vec{u}}\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \right)
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0\\
+& + \partial_{1,\vec{\chi}}L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) - \beta
+\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+\textit{Note}: La dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\gamma}}
+f(\vec{x},\vec{\omega}) = \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{x}}
+f(\vec{x},\vec{\omega}$ est la dérivée directionnelle dans la direction
+$\vec{\gamma}$.
+
+Nous pouvons remarquer que la condition à la limite de sensibilité dépend de la
+luminance incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire) mais
+également des dérivées spatiales de la luminance, dans la direction de
+dérivation $\vec{u}$ et dans la direction de dérivation $\vec{\chi}$,
+incidentes à la paroi (dans la direction de transport spéculaire).
+
+Le source de sensibilité émise par la paroi spéculaire dépend donc de la
+luminance et de deux de ses dérivées spatiales. Ces dépendences expriment un
+couplage du modèle de sensibilité avec le modèle de transfert radiatif et le
+modèle de la dérivée spatiale (voir \citep{papier_sensib} qui considère les
+dérivées spatiale et angulaire de la luminance comme des quantités de la
+physique, au même titre que la sensibilité géométrique, et qui en décrit les
+modèles). Nous concluons alors que de résoudre ce problème de sensibilité
+géométrique dans la boite revient à résoudre un problème de transport couplé
+qui dépend à la fois des source radiatives (à travers $L_{spec}$), des sources
+de dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers
+$\partial_{1,\vec{u}} L_{spec}$) et des sources de dérivées spatiales dans la
+direction $\vec{\chi}$ (à travers $\partial_{1,\vec{\chi}} L_{spec}$).
+
+\paragraphe{Les sources du problème couplé}
+Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{configuration} (seule
+la paroi de droite est émettrice) et nous devons à présent donner les sources
+des dérivées spatiales.
+Dans \citep{papier_sensib} il est déterminé que les sources de dérivées
+spatiales peuvent être volumiques, surfaciques et linéiques (pour les
+géométries facétisées - non différentiables). Nous n'entrerons pas dans les
+développements qui explicitent comment trouver les sources des dérivées
+spatiales de cet exemple, nous en donnerons seulement le résultat. En quelques
+mots: les propriétés radiatives du milieu sont spatialement homogènes, il n'y
+aura donc pas de source volumique de dérivée spatiale; les propriétés
+radiatives des surfaces (coefficient de réflexion et émission thermique)
+s'annulent toutes aux extrémités des faces du parallélépipède, il n'y aura donc
+pas de sources linéiques de dérivée spatiale. Concernant les sources
+surfacique: le milieu étant transparent, les parois noires et froides ne seront
+pas sources de dérivée spatiale; seules les parois de droites seront des
+sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont données par les
+conditions aux limites décrites par les équations \ref{eq:cl_duL_haut},
+\ref{eq:cl_duL_droite}, \ref{eq:cl_dchiL_haut}, \ref{eq:cl_dchiL_droite}.
+
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{u}} L = \beta_u \left( \partial_{1,\vec{u}_s}
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega})\right) L_{spec} \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\label{eq:cl_duL_haut}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{u}} L = \beta_u \partial_{1,\vec{u}_e} S_b \quad \quad \quad
+\vec{x} \in A_d ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\label{eq:cl_duL_droite}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{\chi}} L = \beta_{\chi} \left( \partial_{1,\vec{u}_{cs}}
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega})\right) L_{spec} \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\label{eq:cl_dchiL_haut}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{\chi}} L = \beta_{\chi} \partial_{1,\vec{u}_{ce}} S_b \quad \quad \quad
+\vec{x} \in A_d ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\label{eq:cl_dchiL_droite}
+\end{equation}
+
+
+
+
+------------------------------- ANNEXE 1 ------------------------------------ \\
+Nous récupérons ici la condition à la limite pour une paroi spéculaire $s =
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
+\begin{equation}
+s = \mathcal{C}_b[s] + S_{b,\PI}[I, \partial{1,\vec{u}}I,
+\partial_{1,\vec{\chi}}, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}I] \quad \quad \quad
+\vec{x} \in \partial G(\PI) ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\label{eq:cl_sensib_gen}
+\end{equation}
+avec $S_{b,\PI}$ la source surfacique de sensibilité:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+S_{b,\PI} = & - \alpha (\mathcal{C}[L] + S) \\
+& - \beta \partial_{1,\vec{u}} S_b - \partial_{2,\vec{\gamma}} S_b +
+\partial_{\PI} S_b \\
+& - \beta \partial_{1,\vec{u}} \mathcal{C}_b[L] + \partial_{\PI} \mathcal{C}_b
+[L] \\
+& - \partial_{2,\vec{\gamma}} \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \int_{H'}
+p_{\Omega'}(-\vec{\omega}'|\vec{x},-\vec{\omega})d\vec{\omega}' L \\
+& - \beta \mathcal{C}_b[\partial_{1,\vec{u}}L] +
+\mathcal{C}_b[\partial_{1,\vec{\chi}} L] \\
+& + 2 \mu \partial_{2,\vec{\gamma}_t} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Dans cette équation $\mathcal{C}$ est l'opérateur collisionnel du milieu décrit
+dans l'équation \ref{eq:C_operator}, il est ici appliqué à la luminance. La
+source $S$ est la source radiative du milieu. On trouve également
+$\mathcal{C}_b$ l'opérateur collisionnel de la surface. Appliqué à la
+luminance et dans le cas d'une paroi spéculaire il s'écrit:
+\begin{equation}
+\mathcal{C}_b[L] = \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \int_{H'} \delta(\vec{\omega}' -
+\vec{\omega}_{spec}) L(\vec{x},\vec{\omega}',\PI) d\vec{\omega}'
+\end{equation}
+avec $\vec{\omega}_{spec} = \vec{\omega} - 2(\vec{\omega} \cdot
+\vec{n})\vec{n}$
+
+\paragraph{Condition à la limite de notre exemple}
+Pour commencer seule la paroi spéculaire est source de sensibilité géométrique.
+Nous voyons que dans l'équation \ref{eq:cl_sensib_gen} le terme collisionnel
+$\mathcal{C}_b[s]$ traduit la réflexion de la sensibilité incidente à la paroi
+spéculaire. Ce terme est obligatoirement nul puisque il n'y a aucune autre
+source qui pourrait émettre une sensibilité géométrique et aucune autre paroi
+réfléchissante qui pourrait réfléchir la sensibilité émise par la paroi
+spéculaire.
+
+Dans notre exemple le milieu est transparent, les termes $\mathcal{C}[L]$ et
+$S$ sont donc nuls. La paroi spéculaire est froide, la source surfacique $S_b$
+qui dans cete exemple correspondrait à l'émission thermique de la paroi est
+donc aussi nulle.
+L'opérateur collisionnel de la surface $\mathcal{C}_b$ est indépendant de
+$\PI$, la dérivée $\partial_{\PI} \mathcal{C}_b$ est donc nulle. Pour finir la
+déformation géométrique de la paroi spéculaire est une translation, l'axe de
+rotation $\vec{\gamma}$ est donc nul et toutes les dérivées angulaires n'ont
+plus lieux d'être dans la condition aux limites.
+
+La condition à la limite de sensibilité de la paroi spéculaire de la boite
+devient donc:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+s = & - \beta \partial_{1,\vec{u}} \mathcal{C}_b[L] \\
+& + \mathcal{C}_b[\partial_{1,\vec{\chi}}L - \beta \partial_{1,\vec{u}} L]
+\end{aligned}
+\end{equation}
+avec
+\begin{equation}
+\beta \partial_{1,\vec{u}} \mathcal{C}_b [L] = \beta \left(\partial_{1,\vec{u}}
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \right) \int_{H'}
+\delta(\vec{\omega}'-\vec{\omega}_{spec}) L(\vec{x},\vec{\omega}',\PI)
+d\vec{\omega}'
+\end{equation}
+En prennant en compte le fait que:
+\begin{equation}
+\int_{H'} \delta(\vec{\omega}' - \vec{\omega}_{spec} f(\vec{\omega}')
+d\vec{\omega}' = f(\vec{\omega}_{spec}
+\end{equation}
+on trouve finalement:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = & - \beta
+\left(\partial_{1,\vec{u}}\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \right)
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \\
+& + \partial_{1,\vec{\chi}}L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) - \beta
+\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
+\end{aligned}
+\end{equation}
+-------------------------------- FIN ANNEXE 1 ------------------------------------ \\
+
+
-To be continued..........
\section{Algorithme de Monte-Carlo direct}
