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Author: Lapeyre Paule <paule.lapeyre@yahoo.fr>
Date: Wed, 14 Dec 2022 11:57:30 -0500
Modification section 1 et annexe decomposition
Modifications dans l'introduction sur la descritpion de l'observable.
Modifications dans le texte et correction de certaines équations dans la
section 2 sur le modèle de sensibiltié.
Modifications de l'annexe décomposition avec une description sur le
besoin de la projection dans le modèle de sensibilité et les équations
correspondantes. Reste à lier le texte et les blocs de codes.
Diffstat:
1 file changed, 106 insertions(+), 70 deletions(-)
diff --git a/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw b/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw
@@ -96,6 +96,29 @@ l'exception de la paroi supérieure qui est spéculaire
(figure~\ref{fig:configuration}). La déformation géométrique que nous
considérons est une translation de cette paroi. Nous étudions l'impact de cette
translation sur le flux reçu par un récepteur situé sur la paroi inférieure.
+L'observable radiative de notre problème est donc le flux $\varphi$ perçu par
+le récepteur et s'exprime:
+\begin{equation}
+\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
+\end{equation}
+On s'intéresse à la sensibilité de ce flux par rapport à la variation de la
+position de la paroi spéculaire:
+\begin{equation}
+\partial_{\PI}\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
+\vec{\omega} \cdot \vec{n} \partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
+\end{equation}
+Pour évaluer le flux $\varphi$ nous avons besoin de connaître la luminance $
+L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$ , dans toutes les directions entrantes et en tout
+point du récepteur, de façon similaire pour évaluer $\partial_{\PI} \varphi$
+nous avons besoin de connaître la sensibilité géométrique $\partial_{\PI}
+L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) $, dans toutes les directions entrantes et en tout
+point du récepteur. L'objet de la section \ref{modele_sensib} est de donner le
+modèle physique qui décrit les sources et le transport de la sensibilité
+géométrique. Dans la section \ref{monte_carlo} l'algorithme de Monte-Carlo qui
+résout le problème de sensibilité est donné, il est construit de manière
+analogue au transport de sensibilité en suivant de façon directe la propagation
+des sources de sensibilité.
\begin{figure}
\centering
@@ -174,8 +197,8 @@ translation sur le flux reçu par un récepteur situé sur la paroi inférieure.
\end{figure}
\begin{equation}
-\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) = 0.25 (1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx})(1- \cos(2 \pi
-\frac{y}{Dy})
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) = 0.25 \lbrack 1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx}) \rbrack
+\lbrack 1- \cos(2 \pi \frac{y}{Dy} \rbrack
\label{eq:rho}
\end{equation}
@@ -187,34 +210,17 @@ L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = S_b \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d ;
avec $S_b$ la source surfacique qui correspond à l'émission thermique de la
paroi:
\begin{equation}
-S_b = L^{eq}(T)(1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx})(1- \cos(2 \pi \frac{y}{Dy})
+S_b = L^{eq}(T) \lbrack 1- \cos(2 \pi \frac{x}{Dx}) \rbrack \lbrack 1- \cos(2
+\pi \frac{y}{Dy}) \rbrack
\end{equation}
-L'observable radiative est le flux $\varphi$ perçu par le récepteur qui
-s'exprime:
-\begin{equation}
-\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
-\vec{\omega} \cdot \vec{n} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
-\end{equation}
-
-On s'intéresse à la sensibilité de ce flux par rapport à la variation de la
-position de la paroi spéculaire:
-\begin{equation}
-\partial_{\PI}\varphi = \int_{\S_{recepteur}} dS \int_{\mathcal{H}} d\vec{\omega}
-\vec{\omega} \cdot \vec{n} \partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
-\end{equation}
-Pour évaluer le flux $\varphi$ nous avons besoin de connaître la luminance,
-dans toutes les directions entrantes et en tout point du récepteur, de façon
-similaire pour évaluer $\partial_{\PI} \varphi$ nous avons besoin de connaître
-la sensibilité géométrique $s$, dans toutes les directions entrantes et en tout
-point du récepteur.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Modèle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Modèle de sensibilité géométrique}
-
+\label{modele_sensib}
La sensibilité géométrique de la luminance est définie telle que:
\begin{equation}
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \partial_{3} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) =
@@ -227,22 +233,17 @@ sensibilité entrante dans le domaine.
\paragraph{Équation de transport}
Dans \citep{papier_sensib} l'équation de la sensibilité dans le milieu est
-donnée en toute généralité. Pour notre exemple elle peut se résumer à
-l'equation \ref{eq:ETR-S}, avec $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
+donnée en toute généralité. Dans notre exemple le milieu est transparent ($k_a
+= k_s = 0$) et elle peut se résumer à l'equation \ref{eq:ETR-S}, avec $s =
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
- \vec{w} \cdot \vec{\nabla} s = \mathcal{C}[s]
+ \vec{w} \cdot \vec{\nabla} s = 0
\label{eq:ETR-S}
\end{equation}
-et
-\begin{equation}
-\mathcal{C}[s] = -(k_a + k_s) s + k_s \int_{\mathcal{S}}
-p_{\Omega'}(-\vec{\omega}'|\vec{x},\vec{\omega}) d\vec{\omega'}
-\label{eq:C_operator}
-\end{equation}
\paragraph{Les conditions aux limites}
-La seule paroi du cube paramétrée par $\PI$ est la paroi du haut qui est
-spéculaire. Seule cette paroi sera donc source de sensibilité géométrique:
+La seule paroi du cube paramétrée par $\PI$ est la paroi du haut, elle sera
+donc la seule source de sensibilité géométrique:
\begin{equation}
\begin{aligned}
s_{droite} = s_{gauche} = s_{devant} = s_{derri\grave{e}re} = s_{bas} = 0 \\
@@ -252,15 +253,16 @@ s_{haut} = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in S_{haut}
\end{equation}
Dans \citep{papier_sensib} la condition à la limite de la sensibilité
-géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques de
-paroi noire, paroi spéculaire et paroi diffuse. Dans notre exemple elle prend
-la forme suivante (voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui
-mènent à cette expression):
+géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques des
+parois noires, parois spéculaires et parois diffuses. La paroi du haut étant
+spéculaire la condition à la limite de sensibilité prend la forme suivante
+(voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui mènent à cette
+expression):
\begin{equation}
\begin{aligned}
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = & - \beta
\left(\partial_{1,\vec{u}}\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \right)
-L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0\\
& + \partial_{1,\vec{\chi}}L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) - \beta
\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
@@ -270,10 +272,13 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
\textit{Note}: La dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\gamma}}
f(\vec{x},\vec{\omega}) = \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{x}}
-f(\vec{x},\vec{\omega}$ est la dérivée directionnelle dans la direction
+f(\vec{x},\vec{\omega})$ est la dérivée directionnelle dans la direction
$\vec{\gamma}$.
-Nous pouvons remarquer que la condition à la limite de sensibilité dépend de la
+\paragraph{Les sources de sensibilité} Dans ce problème les sources de
+sensibilité sont localisées uniquement sur la paroi du haut et déterminées à
+partir de la condition à la limite. Toutefois, dans l'équation
+\ref{eq:clsensib} la condition à la limite de sensibilité dépend de la
luminance incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire) mais
également des dérivées spatiales de la luminance, dans la direction de
dérivation $\vec{u}$ et dans la direction de dérivation $\vec{\chi}$,
@@ -285,32 +290,35 @@ couplage du modèle de sensibilité avec le modèle de transfert radiatif et le
modèle de la dérivée spatiale (voir \citep{papier_sensib} qui considère les
dérivées spatiale et angulaire de la luminance comme des quantités de la
physique, au même titre que la sensibilité géométrique, et qui en décrit les
-modèles). Nous concluons alors que résoudre ce problème de sensibilité
-géométrique dans la boite revient à résoudre un problème de transport couplé
-qui dépend à la fois des source radiatives (à travers $L_{spec}$), des sources
-de dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers
-$\partial_{1,\vec{u}} L_{spec}$) et des sources de dérivées spatiales dans la
-direction $\vec{\chi}$ (à travers $\partial_{1,\vec{\chi}} L_{spec}$).
+modèles). Nous concluons alors que résoudre notre problème de sensibilité
+géométrique revient à résoudre un problème de transport couplé qui dépend à la
+fois des source radiatives (à travers $L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$),
+des sources de dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers
+$\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec})$) et des sources de
+dérivées spatiales dans la direction $\vec{\chi}$ (à travers
+$\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec})$).
\paragraph{Les sources du problème couplé}
-Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{fig:configuration}
-(seule la paroi de droite est émettrice) et nous devons à présent donner les
-sources des dérivées spatiales. Dans \citep{papier_sensib} il est déterminé
-que les sources de dérivées spatiales peuvent être volumiques, surfaciques et
-linéiques (pour les géométries facétisées - non différentiables). Nous
-n'entrerons pas dans les développements qui explicitent comment trouver les
-sources des dérivées spatiales de cet exemple, nous en donnerons seulement le
-résultat. En quelques mots: les propriétés radiatives du milieu sont
-spatialement homogènes, il n'y aura donc pas de source volumique de dérivée
-spatiale; les propriétés radiatives des surfaces (coefficient de réflexion et
-émission thermique) s'annulent toutes aux extrémités des faces du
-parallélépipède, il n'y aura donc pas de sources linéiques de dérivée spatiale.
-Concernant les sources surfacique: le milieu étant transparent, les parois
-noires et froides ne seront pas sources de dérivée spatiale; seules les parois
-de droites seront des sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont
+Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{fig:configuration},
+il n'y a pas d'émission volumique et seule la paroi de droite est émettrice
+(voir la condition à la limite, équation \ref{eq:cl_rad}). Nous devons à
+présent donner les sources des dérivées spatiales. Dans \citep{papier_sensib}
+il est déterminé que les sources de dérivées spatiales peuvent être volumiques,
+surfaciques et linéiques (pour les géométries facétisées - non
+différentiables). Nous n'entrerons pas dans les développements qui explicitent
+comment trouver les sources des dérivées spatiales de cet exemple, nous en
+donnerons seulement le résultat. En quelques mots: les propriétés radiatives du
+milieu sont spatialement homogènes, il n'y aura donc pas de source volumique de
+dérivée spatiale; les propriétés radiatives des surfaces (coefficient de
+réflexion et émission thermique) sont modélisée par des fonctions qui
+s'annulent toutes aux extrémités des faces du parallélépipède, les sources
+linéiques de dérivée spatiale seront donc nulles. Concernant les sources
+surfacique: (TODO milieu transparent)les parois noires et froides (propriétés
+homogènes) ne seront pas sources de dérivées spatiales; seules les parois de
+droites seront des sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont
données par les conditions aux limites décrites par les équations
\ref{eq:cl_duL_haut}, \ref{eq:cl_duL_droite}, \ref{eq:cl_dchiL_haut} et
-\ref{eq:cl_dchiL_droite}.
+\ref{eq:cl_dchiL_droite} (TODO notations !).
\begin{equation}
\partial_{1,\vec{u}} L = \beta_u \left( \partial_{1,\vec{u}_s}
@@ -342,7 +350,7 @@ données par les conditions aux limites décrites par les équations
% Algorithme Direct
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Résolution par Monte-Carlo}
-
+\label{monte_carlo}
\paragraph{Commentaires}
On veut estimer par Monte-Carlo la sensibilité géométrique du flux reçu par le
récepteur à l'épaisseur du cube. On va donc écrire un fichier
@@ -762,11 +770,11 @@ de commande).
% Annexe CL de sensibilité
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Détails de la condition à la limite de sensibilité}
-Nous récupérons ici la condition à la limite pour une paroi spéculaire $s =
-s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
+Nous récupérons ici la condition à la limite pour une paroi spéculaire donnée
+dans \citep{papier_sensib} $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
-s = \mathcal{C}_b[s] + S_{b,\PI}[I, \partial{1,\vec{u}}I,
-\partial_{1,\vec{\chi}}, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}I] \quad \quad \quad
+s = \mathcal{C}_b \lbrack s \rbrack + S_{b,\PI} \lbrack I, \partial_{1,\vec{u}}I,
+\partial_{1,\vec{\chi}} I, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}I \rbrack \quad \quad \quad
\vec{x} \in \partial G(\PI) ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
\label{eq:cl_sensib_gen}
\end{equation}
@@ -808,7 +816,7 @@ spéculaire.
Dans notre exemple le milieu est transparent, les termes $\mathcal{C}[L]$ et
$S$ sont donc nuls. La paroi spéculaire est froide, la source surfacique $S_b$
-qui dans cete exemple correspondrait à l'émission thermique de la paroi est
+qui dans cet exemple correspondrait à l'émission thermique de la paroi est
donc aussi nulle.
L'opérateur collisionnel de la surface $\mathcal{C}_b$ est indépendant de
$\PI$, la dérivée $\partial_{\PI} \mathcal{C}_b$ est donc nulle. Pour finir la
@@ -833,8 +841,8 @@ d\vec{\omega}'
\end{equation}
En prennant en compte le fait que:
\begin{equation}
-\int_{H'} \delta(\vec{\omega}' - \vec{\omega}_{spec} f(\vec{\omega}')
-d\vec{\omega}' = f(\vec{\omega}_{spec}
+\int_{H'} \delta(\vec{\omega}' - \vec{\omega}_{spec}) f(\vec{\omega}')
+d\vec{\omega}' = f(\vec{\omega}_{spec})
\end{equation}
on trouve finalement:
\begin{equation}
@@ -852,6 +860,34 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Décomposition du vecteur de déformation}
+Dans le modèle de seniblité la déformation est caractérisée par le vecteur de
+déformation $\vec{\chi}$. La condition à la limite de sensibilité dépend alors
+de la dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\chi}}I$ sortant de la frontière. Le
+champs de luminance n'étant pas connu il n'existe pas de solution à cette
+dérivée. Nous choisissons donc de décomposer la direction $\vec{\chi}$ en deux
+directions distincte, une direction tangente à la frontière $\vec{u}$ et la
+direction de transport $\vec{\omega}$. Ainsi la dérivée de I selon $\vec{\chi}$
+devient une composition de dérivées de I le long de la paroi (où la luminance
+est connue) et le long de la direction de transport (retrouvant ainsi le terme
+de transport de l'ETR).
+
+La décomposition de $\vec{\chi}$ s'écrit :
+\begin{equation}
+\vec{\chi} = \alpha \vec{\omega} + \beta \vec{u}
+\label{eq:chi_decomp}
+\end{equation}
+
+Ce qui permet d'obtenir :
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{\chi}}I = \alpha \partial_{1,\vec{\omega}} I + \beta
+\partial_{1,\vec{u}} I
+\end{equation}
+et de résoudre la dérivée en estimant $\partial_{1,\vec{u}}I$ le long de la
+surface et en utilisant l'ETR pour résoudre $partial{1,\vec{\omega}}I$:
+\begin{equation}
+\partial_{1,\vec{\omega}}I = \mathcal{C} \lbrack I \rbrack
+\end{equation}
+
<<decomposition>>=
struct projection {
double alpha;
