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Author: Vincent Forest <vincent.forest@meso-star.com>
Date: Wed, 22 Mar 2023 18:35:25 +0100
Relecture serrée des sections 1 et 2 du noweb
Dans cette validation est retravaillé à la phrase le texte des deux
premières sections. Ce n'est qu'un re-travail de forme qui tente
d'assouplir la lecture des sources noweb actuelles désormais figées dans
leur fonctionnalité. Les références manquantes des annexes ont été
ajoutées et l'utilisation des paragraphes est laissée aux seuls blocs de
texte qui nécessitent un titre ; des alinéas sont utilisés partout
ailleurs.
Diffstat:
1 file changed, 117 insertions(+), 136 deletions(-)
diff --git a/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw b/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw
@@ -26,7 +26,7 @@
\usepackage{amsfonts} % \mathbb
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
-\usepackage{natbib} % \citep
+%\usepackage{natbib} % \citep
\usepackage{noweb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
@@ -47,6 +47,7 @@
\newcommand{\PI}{\ddot \pi}
\newcommand{\etc}{\textit{etc.}}
\newcommand{\ie}{\textit{i.e.}}
+\newcommand{\eg}{\textit{e.g.}}
\begin{document}
\pagestyle{noweb}
@@ -54,25 +55,23 @@
\title{Sensibilité à la translation}
\maketitle
-\paragraph{}
Ce document est un exercice dans lequel on choisit de décrire un exemple de
sensibilité sans aucune ambition de généralité en se concentrant sur une
configuration simplifiée. Contrairement à une pratique Monte-Carlo plus
-conventionnelle, nous aurons à vu l'entièreté des données qui décrivent notre
-systèmes à savoir sa configuration géométriques et ses propriétés physiques.
-Dit autrement, nous saurons à chaque instant où se situent nos chemins et ainsi
-nous pourrons référencer les différentes étapes de suivi de ces chemins
-relativement aux parois de notre scène (ex: paroi de droite, surface émettrice,
+conventionnelle, nous aurons à vu pendant l'entièreté des données qui décrivent
+le systèmes à savoir sa configuration géométriques et ses propriétés physiques.
+Dit autrement, nous saurons à chaque instant où les chemins se situent et ainsi
+pourrons référencer les différentes étapes de suivi de ces chemins relativement
+aux parois de notre scène (ex: paroi de droite, surface émettrice,
{\etc}).
-\paragraph{}
Par cette démarche nous proposons de construire un algorithme de sensibilité de
manière analogue comme nous savons le faire en transfert radiatif
(\textbf{NOTE} insister sur l'héritage Monte-Carlo en transfert radiatif ici
reprit à l'identique pour une formulation analogue grace au modèle de
sensibilité). Le principe consiste à identifier les sources du problèmes et de
-les propéger jusqu'au récepteur en fonction des propriétés (physiques et
-géométriques) du système:
+les propager jusqu'au récepteur en fonction des propriétés physiques et
+et de la géométrie du système:
\begin{itemize}
\item on se pose un pbr de sensib;
@@ -87,17 +86,19 @@ oeuvre explicite dans le code. + Préciser que les notations feront référence
la position des parois par rapport à l'orientation présentée sur le schéma (h
$=$ haut, d $=$ droite etc...), soit par rapport à l'origine du repère.
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Description du problème
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Description du problème}
-%\paragraph{Descrition du système}
+\label{sec:probleme}
+
Le but du présent document est d'illustrer la mise en oeuvre algorithmique d'un
-calcul de sensibilité sur un exemple simple (\textbf{NOTE} phrase à refaire...
-Comme toutes les autres :-)). Le problème est décrit par un parallélépipède
-(figure~\ref{fig:configuration}) dont les parois sont toutes noires à
-l'exception de la paroi supérieure qui est spéculaire. La déformation
-géométrique que nous considérons est une translation de cette paroi. Nous
-étudions l'impact de cette translation sur le flux reçu par un récepteur situé
-sur la paroi inférieure. L'observable radiative de notre problème est donc le
-flux $\varphi$ perçu par le récepteur et s'exprime:
+calcul de sensibilité sur l'exemple simple d'un parallélépipède
+(figure~\ref{fig:configuration}). Nous nous intéressons ici à la déformation
+géométrique liée à la translation de sa paroi supérieure et étudions l'impact
+de cette translation sur le flux reçu par un récepteur situé sur sa paroi
+inférieure. L'observable radiative de notre problème est donc le flux $\varphi$
+perçu par le récepteur et s'exprime comme ci-dessous:
\begin{equation}
\varphi = \int_{A_r} dS \int_{\mathcal{H}^-} d\vec{\omega}
\ (\vec{\omega} \cdot \vec{n}) L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
@@ -165,47 +166,49 @@ $\mathcal{H}^-$ l'hémisphère orientée par $\vec{n} = - \vec{e}_z$
\flushleft
\caption{\textbf{La configuration géométrique} est un parallélépipède de
-dimension $D_x \times D_y \times D_z(\PI)$, avec $D_z(\PI) = h+\PI$, repéré
-dans la base $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. Le paramètre $\PI$ est le
-paramètre géométrique, il est défini sur $\mathbb{R}^{+}$, en le modifiant la
-position de la paroi supérieure est translatée vers le haut. Les parois
-latérales ne dépendent pas de $\PI$, lorsque la paroi du haut est translatée le
-cube ``s'ouvre". Le récepteur de surface $A_r$ est positionné sur la paroi du
-bas et a pour dimension $R_x \times R_y$.}
+ dimension $D_x \times D_y \times D_z(\PI)$, avec $D_z(\PI) = h+\PI$, repéré
+ dans la base $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. Le paramètre $\PI$ est le
+ paramètre géométrique défini sur $\mathbb{R}^{+}$. En le modifiant, la
+ position de la paroi supérieure est translatée vers le haut, ou dit
+ autrement ``la boîte s'ouvre''. Les parois latérales ne dépendent pas de
+ $\PI$. Enfin, le récepteur de surface $A_r$ est positionné sur la paroi du
+ bas et a pour dimension $R_x \times R_y$.}
\label{fig:configuration}
\end{figure}
\paragraph{La configuration radiative}
-Toutes les parois du parallélépipède sont noires à l'exception de la paroi du
-haut (de surface $A_h = D_x \times D_y$) qui est spéculaire, froide, et munie
-d'un coefficient de réflexion $\rho$:
-% défini dans l'équation \ref{eq:rho}.
+Les parois du parallélépipède sont toutes noires à l'exception de la paroi du
+haut (de surface $A_h = D_x \times D_y$) qui est froide, spéculaire, et dont le
+coefficient de réflexion $\rho$ est donné par:
\begin{equation}
\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) = 0.25 \Bigl[ 1- \cos \left(2 \pi \frac{x}{Dx}
\right) \Bigr] \Bigl[ 1- \cos \left(2 \pi \frac{y}{Dy} \right) \Bigr]
\label{eq:rho}
\end{equation}
-avec les constantes $D_x$ et $D_y$ décrites en
-(figure~\ref{fig:configuration}).
-La profil spécifique de $\rho$ n'est pas discuté dans ce document, il permet de
-simplifier le problème de sensibilité (\textbf{TODO :} refaire cette phrase).
-Seule la paroi noire de droite (de surface $A_d = D_y \times h$) est émettrice
-et la condition à la limite en luminance correspondante est décrite par:
-% l'équation \ref{eq:cl_rad}.
+avec les constantes $D_x$ et $D_y$ décrites en figure~\ref{fig:configuration}.
+Nous ne discutons pas ici du profil spécifique de $\rho$ mais soulignons
+néanmoins qu'il simplifie le problème et permet ainsi de resserrer le présent
+document sur le seul développement d'un algorithme analogue de calcul de
+sensibilité.
+
+En ce qui concerne les sources, seule la paroi noire de droite est émettrice.
+Sa surface vaut $A_d = D_y \times h$ et la condition à la limite en luminance
+correspondante est décrite par:
\begin{equation}
L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = S_b(\vec{x}) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d \ ; \
\vec{\omega} \cdot \vec{n}_d > 0
\label{eq:cl_rad}
\end{equation}
avec $\vec{n}_d$ la normale de la paroi de droite et $S_b$ la source radiative
-de surface qui correspond ici à l'émission thermique de la paroi de droite:
+de surface qui correspond ici à son émission thermique:
\begin{equation}
S_b(\vec{x}) = L^{eq}(T) \Bigl[ 1- \cos \left(2 \pi \frac{x}{Dx} \right) \Bigr]
\Bigl[ 1- \cos \left(2 \pi \frac{y}{Dy} \right) \Bigr]
\label{eq:S_b}
\end{equation}
-Le milieu englobant la ``boite" est considéré froid et transparent.
+Enfin, le milieu englobant notre ``boîte'' est considéré comme étant froid et
+transparent.
\paragraph{La sensibilité géométrique du flux}
On s'intéresse à la sensibilité du flux (équation \ref{eq:flux}) par rapport à
@@ -215,52 +218,52 @@ la variation de la position de la paroi spéculaire:
\ (\vec{\omega} \cdot \vec{n}) \partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
\label{eq:sensib_flux}
\end{equation}
-Pour évaluer le flux $\varphi$ nous avons besoin de connaître la luminance $
-L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$ , dans toutes les directions entrantes et en tout
+Pour évaluer le flux $\varphi$ nous avons besoin de connaître la luminance
+$L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$, dans toutes les directions entrantes et en tout
point du récepteur. De façon similaire, pour évaluer $\partial_{\PI} \varphi$
nous avons besoin de connaître la sensibilité géométrique $\partial_{\PI}
-L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) $, dans toutes les directions entrantes et en tout
+L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$, dans toutes les directions entrantes et en tout
point du récepteur.
-\paragraph{} L'objet de la section \ref{modele_sensib} est de donner le
-modèle physique qui décrit les sources et le transport de la sensibilité
-géométrique. Dans la section \ref{monte_carlo} l'algorithme de Monte-Carlo qui
-résout le problème de sensibilité est donné, il est construit de manière
-analogue au transport de sensibilité en suivant de façon directe la propagation
-des sources de sensibilité.
-
+Pour évaluer cette sensibilité nous commençons par donner le modèle physique
+qui décrit les sources et le transport de la sensibilité géométrique
+(section~\ref{modele_sensib}). Nous développons alors un algorithme Monte-Carlo
+pour résoudre le problème que nous venons de poser en suivant la propagation
+des sources de sensibilité via l'échantillonnage de chemins qui partent
+directement de ces sources, en l'occurrence ici la seule paroi du haut
+(section~\ref{monte_carlo}).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% Modèle
+% Le modèle de sensibilité
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Modèle de sensibilité géométrique}
\label{modele_sensib}
+
La sensibilité géométrique de la luminance est définie telle que:
\begin{equation}
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \partial_{3} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) =
\partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
\end{equation}
-Elle est considérée comme une quantité physique à part entière, dont la
+Elle est considérée comme une quantité physique à part entière dont la
phénoménologie est décrite par une équation de transfert radiatif dans le
domaine et par des contraintes aux frontières (conditions aux limites) sur la
sensibilité entrante dans le domaine.
-\paragraph{Équation de transport}
-Dans \citep{papier_sensib} l'équation de la sensibilité dans le milieu est
-donnée en toute généralité. Dans notre exemple le milieu est transparent ($k_a
-= k_s = 0$) et elle peut se résumer à l'equation \ref{eq:ETR-S}, avec $s =
-s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
+\paragraph{Équation de transport} Dans \cite{papier_sensib} l'équation de la
+sensibilité dans le milieu est donnée en toute généralité. Dans notre exemple
+le milieu est transparent ($k_a = k_s = 0$) et peut donc se résumer à
+l'équation \ref{eq:ETR-S}, avec $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
\vec{w} \cdot \vec{\nabla} s = 0
\label{eq:ETR-S}
\end{equation}
-\paragraph{Les conditions aux limites}
-Dans \citep{papier_sensib} la condition à la limite de la sensibilité
-géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques des
-parois noires, parois spéculaires et parois diffuses. Ici, seule la paroi haute
-du cube paramétrée par $\PI$, elle est donc la seule source de sensibilité
-géométrique:
+\paragraph{Les conditions aux limites} Toujours dans \cite{papier_sensib} la
+condition à la limite de la sensibilité géométrique est donnée en toute
+généralité et dans les cas spécifiques des parois noires, parois spéculaires et
+parois diffuses. Dans notre configuration, seule la paroi supérieure du
+parallélépipède est paramétrée par $\PI$. Elle est donc la seule source de
+sensibilité géométrique:
\begin{equation}
\begin{aligned}
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) & = 0 \quad \quad \quad \vec{x} \notin A_h \\
@@ -270,12 +273,13 @@ s(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \\
\end{equation}
avec $S_{b,\PI}$ la source de sensibilité et $\rho(\vec{x},-\vec{\omega})
s(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$ la réflection de la sensibilité incidente à
-la paroi dans la direction spéculaire. Dans notre example, le milieu étant
-transparant et toutes les autres conditions aux limites de snesibilité étant
-nulles, il n'y a pas de sensibilité incidente à la paroi.
-La paroi du haut étant spéculaire, la source de sensibilité $S_{b,\PI}$ prend
-la forme suivante (voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui
-mènent à cette expression):
+la paroi dans la direction spéculaire. Dans notre exemple, le milieu est
+transparent et toutes les autres conditions aux limites de sensibilité sont
+nulles. On se contente donc d'ignorer la sensibilité incidente à la paroi. On
+rappelle par ailleurs que la paroi du haut est spéculaire. La source de
+sensibilité $S_{b,\PI}$ est donc définie par ci-dessous. On renvoit le lecteur
+à l'annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui mènent à cette
+expression:
\begin{equation}
\begin{aligned}
S_{b,\PI} = & - \beta_{\vec{\chi},h} [\partial_{1,\vec{u}_h} \
@@ -289,81 +293,56 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
\label{eq:clsensib}
\end{equation}
avec $\vec{\omega}_{spec} = \vec{\omega} - 2 (\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h)
-\vec{n}_h$ et $\beta_{\vec{\chi},h}$ un coefficient issu de la décomposition de
-$\vec{\chi}$ en deux vecteurs, un orienté par $\vec{\omega}$ et l'autre orienté
-par un vecteur tangent à la paroi du haut : $\vec{u}_h$ (voir annexe
-\ref{ann:proj}). La projection de $\vec{\chi}$ sur $\vec{u}_h$ est de norme
-$\beta_{\vec{\chi},h}$.
+\vec{n}_h$ et $\beta_{\vec{\chi},h}$ est le coefficient issu de la
+décomposition de $\vec{\chi}$ en deux vecteurs, l'un orienté par $\vec{\omega}$
+et l'autre orienté par un vecteur $\vec{u}_h$ tangent à la paroi du haut (voir
+annexe \ref{ann:proj}). Enfin $\beta_{\vec{\chi},h}$ est la norme du vecteur
+$\vec{\chi}$ projeté sur $\vec{u}_h$ .
-\textit{Note}: La dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\gamma}}
+\paragraph{NOTE} La dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\gamma}}
f(\vec{x},\vec{\omega}) = \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{x}}
f(\vec{x},\vec{\omega})$ est la dérivée directionnelle dans la direction
$\vec{\gamma}$.
-
-\paragraph{La source de sensibilité} Dans ce problème la source de sensibilité
-est une source de surface, émise par la paroi du haut et donnée par la
-condition à la limite (équation \ref{eq:clsensib}).
-Toutefois, dans l'équation \ref{eq:clsensib} la condition à la limite de
-sensibilité dépend :
+\paragraph{La source de sensibilité} est dans notre cas une source de surface,
+émise par la paroi du haut et donnée par la condition à la limite décrite par
+l'expression~\ref{eq:clsensib}. Dans cette équation on note que la condition à
+la limite de sensibilité dépend de:
\begin{itemize}
-\item de la luminance incidente à la paroi (dans la direction de transport
-spéculaire),
-\item de la dérivée spatiale de la luminance, dans la direction de dérivation
-$\vec{u}$, incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire),
-\item de la dérivée spatiale de la luminance, dans la direction de dérivation
-$\vec{\chi}$, incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire).
+ \item la luminance incidente à la paroi dans la direction de transport
+ spéculaire;
+ \item la dérivée spatiale de la luminance dans la direction de dérivation
+ $\vec{u}$, incidente à la paroi dans la direction de transport spéculaire;
+ \item et la dérivée spatiale de la luminance dans la direction de dérivation
+ $\vec{\chi}$, incidente à la paroi dans la direction de transport
+ spéculaire.
\end{itemize}
-(\textbf{TODO :} Reformuler :)
-Le source de sensibilité émise par la paroi spéculaire dépend donc de la
-luminance et de deux de ses dérivées spatiales. Ces dépendences expriment un
-couplage du modèle de sensibilité avec le modèle de transfert radiatif et le
-modèle de la dérivée spatiale (voir \citep{papier_sensib} qui considère les
-dérivées spatiale et angulaire de la luminance comme des quantités de la
-physique, au même titre que la sensibilité géométrique, et qui en décrit les
-modèles). Résoudre le problème de sensibilité géométrique revient donc à
-résoudre un problème de transport couplé qui va dépendre à la fois des source
-radiatives (à travers $L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$), des sources de
-dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers $\partial_{1,\vec{u}}
-L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$) et des sources de dérivées spatiales dans
-la direction $\vec{\chi}$ (à travers $\partial_{1,\vec{\chi}}
-L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$).
+En résumé, la source de sensibilité émise par la paroi spéculaire est le
+résultat du couplage entre le modèle de sensibilité, le modèle de transfert
+radiatif et le modèle de dérivée spatiale. Les dérivées spatiale et angulaire
+de la luminance sont simplement considérées comme des quantités physique, au
+même titre que la sensibilité géométrique (voir~\cite{papier_sensib} pour la
+description de leur modèle). Résoudre notre problème de sensibilité géométrique
+revient donc à résoudre un problème de transport couplé qui va dépendre à la
+fois des source radiatives (à travers $L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$),
+des sources de dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers
+$\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$) et des sources de
+dérivées spatiales dans la direction $\vec{\chi}$ (à travers
+$\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$).
\paragraph{Les sources du problème couplé}
-%Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{fig:configuration},
-%il n'y a pas d'émission volumique et seule la paroi de droite est émettrice
-%(voir la condition à la limite, équation \ref{eq:cl_rad}). Nous devons à
-%présent donner les sources des dérivées spatiales. Dans \citep{papier_sensib}
-%il est déterminé que les sources de dérivées spatiales peuvent être volumiques,
-%surfaciques et linéiques (pour les géométries facétisées - non
-%différentiables). Nous n'entrerons pas dans les développements qui explicitent
-%comment trouver les sources des dérivées spatiales de cet exemple, nous en
-%donnerons seulement le résultat. En quelques mots: les propriétés radiatives du
-%milieu sont spatialement homogènes, il n'y aura donc pas de source volumique de
-%dérivée spatiale; les propriétés radiatives des surfaces (coefficient de
-%réflexion et émission thermique) sont modélisée par des fonctions qui
-%s'annulent toutes aux extrémités des faces du parallélépipède, les sources
-%linéiques de dérivée spatiale seront donc nulles. Concernant les sources
-%surfacique: (TODO milieu transparent)les parois noires et froides (propriétés
-%homogènes) ne seront pas sources de dérivées spatiales; seules les parois de
-%droites seront des sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont
-%données par les conditions aux limites décrites par les équations
-%\ref{eq:cl_duL_haut}, \ref{eq:cl_duL_droite}, \ref{eq:cl_dchiL_haut} et
-%\ref{eq:cl_dchiL_droite} (TODO notations !).
-
-\textit{Source radiative} La seule source radiative est donnée en section
-\ref{sec:probleme} par l'équation \ref{eq:cl_lum}. Elle correspond à l'émission
-thermique $S_b$ de la paroi de droite, de surface $A_d$.
-
-\textit{Sources de dérivée spatiale} Le modèle de dérivée spatiale, élaboré
-dans \cite{}, peut comprendre des sources volumiques, des sources de surfaces
-et des sources locales situées sur les arrêtes d'une géométrie facétisée. Dans
-notre exemple le modèle de dérivée spatiale se simplifie (voir annexe
-\ref{ann:der_spatiale}) de sorte que les sources soient uniquement des sources
-émises par la surface du haut $A_h$ et la surface de droite $A_d$.
+La seule source radiative de notre configuration est donnée en
+section~\ref{sec:probleme} par l'équation \ref{eq:cl_rad}. Elle correspond à
+l'émission thermique $S_b$ de la paroi de droite de surface $A_d$. Pour les
+sources de dérivée spatiale, le modèle de dérivée spatiale élaboré dans
+\cite{papier_sensib} autorise des sources volumiques, des sources de surfaces
+et des sources locales situées sur les arrêtes d'une géométrie triangulées.
+Dans notre exemple ce modèle se simplifie (voir annexe \ref{ann:der_spatiale})
+de sorte que ces sources se résument aux seules sources émises par la surface
+du haut $A_h$ et la surface de droite $A_d$ (figure~\ref{fig:configuration}).
Pour la dérivée spatiale dans la direction $\vec{u}_h$, la source de la paroi
-du haut est donnée par la condition à la limite :
+du haut est donnée par la condition à la limite:
\begin{equation}
\partial_{1,\vec{u}_h} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{u}_h,h} [
\partial_{1,\vec{u}_s} \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) ]
@@ -371,7 +350,7 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \ ; \
\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h > 0
\label{eq:cl_duL_haut}
\end{equation}
-et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite :
+et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite:
\begin{equation}
\partial_{1,\vec{u}_h} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{u}_h,d}
\partial_{1,\vec{u}_{hd}} S_b(\vec{x}) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d \ ;
@@ -388,7 +367,7 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \ ; \
\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h > 0
\label{eq:cl_dchiL_haut}
\end{equation}
-et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite :
+et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite:
\begin{equation}
\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{\chi},d}
\partial_{1,\vec{u}_{\chi,d}} S_b(\vec{x}) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d \
@@ -829,9 +808,10 @@ calcul du flux est décrit en annexe \ref{flux}.
% Annexe CL de sensibilité
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Détails de la condition à la limite de sensibilité}
+\label{ann:cl_sensib}
Nous récupérons ici la condition à la limite pour une paroi spéculaire donnée
-dans \citep{papier_sensib} $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
+dans \cite{papier_sensib} $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
s = \mathcal{C}_b \lbrack s \rbrack + S_{b,\PI} \lbrack I, \partial_{1,\vec{u}}I,
\partial_{1,\vec{\chi}} I, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}I \rbrack \quad \quad \quad
@@ -919,6 +899,7 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \\
% Annexe décomposition
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Décomposition du vecteur de déformation}
+\label{ann:proj}
Dans le modèle de sensiblité la déformation est caractérisée par le vecteur de
déformation $\vec{\chi}$. La condition à la limite de sensibilité dépend alors
@@ -939,7 +920,7 @@ La décomposition de $\vec{\chi}$ s'écrit :
avec $\alpha$ ([[alpha]]) et $\beta$ ([[beta]]) les coefficients issus de la
projection de $\vec{\chi}$ sur $\vec{n}$ ([[normal]]) et $\vec{u}$. Plus de
précisions sur la base non-orthogonale utilisée pour cette décomposition seront
-trouvées dans \cite{}. Ici nous en donnons les résultats :
+trouvées dans \cite{papier_sensib}. Ici nous en donnons les résultats :
\begin{equation}
\alpha = \frac{\vec{\chi}.\vec{n}}{\vec{\omega}.\vec{n}} \ \; \quad \beta =
\|\vec{chi} - \alpha \vec{\omega} \| \ \; \quad \vec{u} = \frac{\vec{chi} -
