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Author: Lapeyre Paule <paule.lapeyre@yahoo.fr>
Date: Wed, 12 Apr 2023 11:54:08 -0400
Complète la partie résultats et quelques annexes
Inclu un petit texte d'introduction de la figure dans la partie
résultat et complète la légende.
Corrige quelques erreurs dans les annexes A, B et C. Ajoute des
références aux blocs de codes, penser à vérifier la terminologie.
Diffstat:
1 file changed, 61 insertions(+), 38 deletions(-)
diff --git a/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw b/src/sgs_compute_sensitivity_translation.nw
@@ -770,6 +770,16 @@ struct sgs_hit hit1;
\section{Résultats}
\label{sec:results}
+\paragraph{}
+Au delà du simple calcul de sensibilité nous proposons ici une vérification des
+résultats par le calcul de différences finies. La différentiation est
+effectuée à partir des estimations du flux $\varphi(\PI)$ reçu par le capteur
+pour différentes valeurs du paramètre géométrique $\PI$, soit pour différentes
+hauteurs de la paroi spéculaire. Le calcul du poids associé au calcul du flux
+est décrit en annexe \ref{flux}.
+La figure \ref{fig:resultats} présente les estimations de la sensibilité du
+flux et des différences finies correspondantes.
+
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
@@ -818,20 +828,19 @@ struct sgs_hit hit1;
\end{tikzpicture}
\flushleft
- \caption{Sensibilité du flux reçu par le capteur de surface $A_r$ en fonction
- de l'ouverture du parallélépipède paramétrée par $\PI$. La sensibilité du flux
- $\partial_{\PI} \hat{\varphi} = \frac{\partial_{\PI}
- \varphi}{\varphi_{max}} h$ avec $\varphi_{max} = \varphi(\PI=0)$.}
+ \caption{Estimations des sensibilités du flux par Monte-Carlo et comparaison
+avec les différences finies du flux. Les résultats sont adimensionnalisés et
+affichés en fonction de l'ouverture du parallélépipède, qui est paramétrée par
+$\PI$. La sensibilité du flux $\partial_{\PI} \hat{\varphi} =
+\frac{\partial_{\PI} \varphi}{\varphi_{max}} h$ avec $\varphi_{max} =
+\varphi_{spec}(\PI=0)$. Dans cette expression, \varphi_{spec} correspond
+uniquement à la partie du flux qui arrive au récepteur après avoir été
+réfléchie sur la paroi spéculaire (voir annexe \ref{flux}). Le nombre
+d'échantillonnage du poids de Monte-Carlo nécessaire à la reproduction de ce
+résultat est $10^{8}$.}
+\label{fig:resultats}
\end{figure}
-\paragraph{TODO} À écrire qd on aura le programme fonctionnel.
-
-\paragraph{temp} Au delà du simple calcul de sensibilité nous proposons ici une
-vérification des résultats par le calcul de différences finies. La
-différentiation est effectuée à partir des estimations du flux reçu par le
-capteur pour différente valeur du paramètre géométrique $\PI$, soit pour
-différentes hauteurs de la paroi spéculaire. Le calcul du poids associé au
-calcul du flux est décrit en annexe \ref{flux}.
\appendix
@@ -844,8 +853,8 @@ calcul du flux est décrit en annexe \ref{flux}.
Nous récupérons ici la condition à la limite pour une paroi spéculaire donnée
dans \cite{papier_sensib} $s = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\begin{equation}
-s = \mathcal{C}_b \lbrack s \rbrack + S_{b,\PI} \lbrack I, \partial_{1,\vec{u}}I,
-\partial_{1,\vec{\chi}} I, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}I \rbrack \quad \quad \quad
+s = \mathcal{C}_b \lbrack s \rbrack + S_{b,\PI} \lbrack L, \partial_{1,\vec{u}}L,
+\partial_{1,\vec{\chi}} L, \partial_{2,\vec{\gamma}_t}L \rbrack \quad \quad \quad
\vec{x} \in \partial G(\PI) ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
\label{eq:cl_sensib_gen}
\end{equation}
@@ -864,11 +873,17 @@ p_{\Omega'}(-\vec{\omega}'|\vec{x},-\vec{\omega})d\vec{\omega}' L \\
& + 2 \mu \partial_{2,\vec{\gamma}_t} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
\end{aligned}
\end{equation}
-Dans cette équation $\mathcal{C}$ est l'opérateur collisionnel du milieu décrit
-dans l'équation \ref{eq:C_operator}, il est ici appliqué à la luminance. La
-source $S$ est la source radiative du milieu. On trouve également
-$\mathcal{C}_b$ l'opérateur collisionnel de la surface. Appliqué à la
-luminance et dans le cas d'une paroi spéculaire il s'écrit:
+Dans cette équation $\mathcal{C}$ est l'opérateur collisionnel du milieu:
+\begin{equation}
+\mathcal{C}[L] = -k_a L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) - k_s
+L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) + k_s \int_{\mathcal{S}}
+p_{\Omega'}(\vec{\omega}'|\vec{x},\vec{\omega}) d\vec{\omega}'
+L(\vec{x},\vec{\omega}',\PI)
+\end{equation}
+La source $S$ est la source radiative du milieu (émission thermique $k_a
+L^{eq}(T)$). On trouve également $\mathcal{C}_b$ l'opérateur collisionnel de la
+surface. Appliqué à la luminance et dans le cas d'une paroi spéculaire il
+s'écrit:
\begin{equation}
\mathcal{C}_b[L] = \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \int_{H'} \delta(\vec{\omega}' -
\vec{\omega}_{spec}) L(\vec{x},\vec{\omega}',\PI) d\vec{\omega}'
@@ -877,8 +892,8 @@ avec $\vec{\omega}_{spec} = \vec{\omega} - 2(\vec{\omega} \cdot
\vec{n})\vec{n}$
\paragraph{Condition à la limite de notre exemple}
-Pour commencer seule la paroi spéculaire est source de sensibilité géométrique.
-Nous voyons que dans l'équation \ref{eq:cl_sensib_gen} le terme collisionnel
+Pour commencer, seule la paroi spéculaire est source de sensibilité géométrique.
+Nous voyons dans l'équation \ref{eq:cl_sensib_gen} que le terme collisionnel
$\mathcal{C}_b[s]$ traduit la réflexion de la sensibilité incidente à la paroi
spéculaire. Ce terme est obligatoirement nul puisque il n'y a aucune autre
source qui pourrait émettre une sensibilité géométrique et aucune autre paroi
@@ -893,7 +908,7 @@ L'opérateur collisionnel de la surface $\mathcal{C}_b$ est indépendant de
$\PI$, la dérivée $\partial_{\PI} \mathcal{C}_b$ est donc nulle. Pour finir la
déformation géométrique de la paroi spéculaire est une translation, l'axe de
rotation $\vec{\gamma}$ est donc nul et toutes les dérivées angulaires n'ont
-plus lieux d'être dans la condition aux limites.
+plus lieux d'être dans la condition à la limite.
La condition à la limite de sensibilité de la paroi spéculaire de la boite
devient donc:
@@ -934,12 +949,12 @@ L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \\
Dans le modèle de sensiblité la déformation est caractérisée par le vecteur de
déformation $\vec{\chi}$. La condition à la limite de sensibilité dépend alors
-de la dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\chi}}I$ (équation \ref{eq:clsensib}).
+de la dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\chi}}L$ (équation \ref{eq:clsensib}).
Le champs de luminance n'étant pas connu il n'existe pas de solution analytique
à cette dérivée. À la frontière nous avons donc choisi de décomposer la
direction $\vec{\chi}$ ([[chi]]) en deux directions distinctes, une direction tangente à
la frontière $\vec{u}$ ([[u]]) et la direction de transport $\vec{\omega}$ ([[omega]]). Ainsi la
-dérivée de I selon $\vec{\chi}$ devient une composition de dérivées de I le
+dérivée de $L$ selon $\vec{\chi}$ devient une composition de dérivées de $L$ le
long de la paroi (sur laquelle la luminance est connue) et le long de la
direction de transport (retrouvant ainsi le terme de transport de l'ETR).
@@ -954,21 +969,25 @@ précisions sur la base non-orthogonale utilisée pour cette décomposition sero
trouvées dans \cite{papier_sensib}. Ici nous en donnons les résultats :
\begin{equation}
\alpha = \frac{\vec{\chi}.\vec{n}}{\vec{\omega}.\vec{n}} \ \; \quad \beta =
-\|\vec{chi} - \alpha \vec{\omega} \| \ \; \quad \vec{u} = \frac{\vec{chi} -
+\|\vec{\chi} - \alpha \vec{\omega} \| \ \; \quad \vec{u} = \frac{\vec{\chi} -
\alpha \vec{\omega}}{\beta}
\end{equation}
Ce qui permet d'obtenir :
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{\chi}}I = \alpha \partial_{1,\vec{\omega}} I + \beta
-\partial_{1,\vec{u}} I
+\partial_{1,\vec{\chi}}L = \alpha \partial_{1,\vec{\omega}} L + \beta
+\partial_{1,\vec{u}} L
\end{equation}
-et de résoudre la dérivée en estimant $\partial_{1,\vec{u}}I$ le long de la
-surface et en utilisant l'ETR pour résoudre $\partial{1,\vec{\omega}}I$:
+et de résoudre la dérivée en estimant $\partial_{1,\vec{u}}L$ le long de la
+surface et en utilisant l'ETR pour résoudre $\partial_{1,\vec{\omega}}L$:
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{\omega}}I = \mathcal{C} \lbrack I \rbrack
+\partial_{1,\vec{\omega}}L = \mathcal{C} \lbrack L \rbrack
\end{equation}
+La fonction [[decomposition]] réalise cette décomposition et les résultats
+([[alpha]], [[beta]] et [[u]]) sont répertoriés dans la structure
+[[projection]].
+
<<fonctions utilitaires>>=
struct projection {
double alpha;
@@ -1001,16 +1020,15 @@ decomposition
\section{Calcul de la contribution de la luminance qui dépend de $\PI$}
\label{flux}
\paragraph{}
-Le flux reçu par le capteur est décrit par l'équation \ref{eq:flux}. Étant
-donné la configuration radiative de notre problème, la luminance
-$L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$ incidente au récepteur ne dépend que de deux
-types de chemins de transports de la source radiative qui est émise par la
-paroi de droite :
+Le flux reçu par le capteur est décrit par l'équation \ref{eq:flux}. Dans notre
+problème, la luminance $L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$ incidente au récepteur
+dépend de deux sortes de chemins radiatifs qui traduisent le transport de la
+source émise par la paroi de droite :
\begin{itemize}
\item soit la source est transportée directement depuis la paroi de droite
jusqu'au récepteur,
-\item soit la source est transportée en direction de la paroi spéculaire et est
-ensuite réfléchie jusqu'à atteindre le récepteur.
+\item soit la source est transportée en direction de la paroi spéculaire puis
+réfléchie jusqu'au récepteur.
\end{itemize}
Dans notre configuration le paramètre géométrique $\PI$ n'a d'influence que sur
la hauteur de la paroi spéculaire. Ainsi, la contribution radiative de la
@@ -1038,6 +1056,11 @@ celui de la sensibilité.
double weight_flux_part_spec;
@
+Le poids de cette contribution correspond à la source radiative $S_b$ (equation
+\ref{eq:cl_rad}) représentée par la variable [[Sb]] multipliées par l'angle
+$\pi$ ([[PI]]), la surface $A_h$ et le coefficient de réflection $\rho$
+([[rho]]).
+
<<calcul du poids>>=
weight_flux_part_spec = Sb * rho * PI * get_Sr(scene);
@
@@ -1046,7 +1069,7 @@ weight_flux_part_spec = Sb * rho * PI * get_Sr(scene);
w[1] = weight_flux_part_spec;
@
-De plus il est également initialisé en même temps que celui de la sensibilité.
+Le poids est également initialisé en même temps que celui de la sensibilité.
De cette manière toutes les chemins réfléchis qui n'atteignent pas le récepteur
seront comptés comme une contribution nulle.
